民族中学 贾云鹤
逻辑是对客观实在的最一般规律的反映，它可以用于一切科学（特别是数学）的思维方法。反过来看，在各科教学里，都包含着丰富的逻辑因素。
数理逻辑作为数学与逻辑学的结合，在中学数学中占有重要地位。尤其在新教材中，逻辑学作为独立的一章，弥补了以往数学教材中全篇都是数理知识的结构的不完善。因此，数理逻辑的重要性是不言而喻的。但是由于这一部分内容是新加入的，无论是新教师还是经验丰富的老教师，都感到不知从何开始，所以对这一部分知识的教学方法的进一步研究，具有现实意义。在中学数理逻辑中，量词的否定既是重点也是难点，不但要求学生较好地掌握，也要求教师重点教授。发展学生的逻辑思维能力，是中学数学的教学目的之一。作为数学教师，有责任在教学过程中培养和发展学生的逻辑思维能力和判断力，因此数学教师更有必要懂得逻辑。
数学具有各种策略，其中之一是它的一部分规则是隐蔽的，像下棋一样，你首先要知道移动棋子的全部规则。许多学生由于没有掌握这样的规则，他们为抽象数学所苦恼就不足为奇了。我们的主要目的是将抽象数学变成学生可懂的和感兴趣的知识。
在某些情况下，一个命题的否定是很容易找到的。
例如，如果A是命题“实数x>0”，那么A的否定是“不是实数x>0”或者“实数x不大于0”。将否定词与它所要否定的事实变成一个与之等价的新命题：“实数x≤0”，就可以把否定词除去。
当命题中出现量词时，比较困难的情况就发生了。例如命题B中出现量词“对所有的”，它的标准形式是：对所有具有“某种性质”的“事物”，使得（有）“某件事情发生”。那么非B命题是：不是对所有具有“某种性质”的“事物”，使得（有）“某件事情发生”。它的真正含义是：存在一个具有某种性质的事物，而对于它，这件事情不发生。同样，如果命题B中出现量词“存在”，标准形式是：存在一个具有“某种性质的事物”，使得“某件事情发生”。
那么非B命题是：不是存在一个有“某种性质”的“事物”，使得“某件事情发生”。或者换句话说，对所有不具某种性质的事物，这件事情不发生。
一般对于出现一个或多个量词的命题，要找出它的否定时，可采用以下步骤。
第一步，把词“不是”放在整个命题的前面。
第二步，将词“不是”从量词的左侧移到量词的右侧，使它恰好位于使得（或有）之后和某件事情发生之前，并且把量词变成与之意义相反的量词，即“对所有的”变成“存在”，“存在”变成“对所有的”。
第三步，当全部的量词出现在“不是”的左侧时，将否定词与它所要否定的事实变成一个与之等价的新命题。
用下面的例子来说明这些步骤。
例1 每一个实数x≥2，有X2＋X－6≥0。
第一步，不是对每一个实数X≥2，有X2＋X－6≥0。
第二步，存在一个实数x≥2，使得不是X2＋X－6≥0。
第三步，存在一个实数x≥2，使得X2＋X－6<0。
在第二步中，当“不是”从左侧移到右侧时，量词变了，但所具有的某种性质（即x≥2）并没有变。又因为量词“对每一个”变成了“存在”，所以当原来是用“使得”时现在不变，当原来是用“有”时现在改为“使得”，当原来“使得”和“有”都没有用时，就必须在逗号之后添上一个词“使得”。完全类似，如果量词“存在”变成“对所有的”，那么原来的“使得”或者不变，或者改为“有”或者取消。看下面例子。
例2 存在一个实数x≥2，使得X2＋X－6≥0。
第一步，不存在一个实数x≥2，使得X2＋X－6≥0。
第二步，对所有x≥2的实数，使得不是X2＋X－6≥0。
第三步，对所有x≥2的实数，有X2＋X－6<0。
如果原来的命题中出现多于一个的量词，那么第二步需要重复进行，直到所有量词都出现在“不是”的左侧，用下面两个例子来说明。
例3 对每个在-1与1之间的实数x，存在一个-1与1之间的实数y，使得x2+y2≤1。
第一步，不是对每一个在-1与1之间的实数x，存在一个-1与1之间的y，使得x2+y2≤1。
第二步，存在一个-1与1之间的实数x，使得不存在-1与1之间的一个y，使得x2+y2≤1。
第三步，存在一个-1与1之间的实数x，使得对所有的-1与1之间的实数y，有x2+y2＞1。
例4 存在一个-1与1之间的实数x，使得对所有在-1与1之间的实数y，有x2+y2≤1。
第一步，不存在一个-1与1之间的实数x，使得对所有在-1与1之间的实数y，有x2+y2≤1。
第二步，对所有在-1与1之间的实数x，使得不是对所有的在-1与1之间的实数y，有x2+y2≤1。
（第二步，对所有在-1与1之间的实数x，存在一个-1与1之间的实数y，使得不是x2+y2≤1。）
第三步，对所有在-1与1之间的实数x，存在一个-1与1之间的实数y，使得x2+y2＞1。
在这里，必须注意的另一种情况是怎样否定有联接词“并且”或“或者”的命题。当否定这样的命题时，像两个量词互相交换一样，“并且”与“或者”也互相交换。明确地说，[A并且B]的否定是：[非A]或者[非B]。同样，[A或者B]的否定是：[A的否定]并且[B的否定]，即非[A或者B]，是[非A]并且[非B]。
例5 非[x≥3并且y＜2]是：[x＜3]或者[y≥2]。
例6 非[x≥3或者y＜2]是：[x＜3]并且[y≥2]。
在现实生活中，除了全称量词和存在题词外，还经常使用“至少有m个”“至多有m个”“有且仅有m个”等一些更精确、更具体的表示数量的词。在对使用这些量词的命题加以否定时，就涉及到对这些量词的处理问题。
用n表示命题中个体的个数，则上述各量词可以分别表示为“n≥m”“n≤m”“n=m”。由于个体的个数是自然数，所以它们的否定分别为“n≤m-1”“n≥m+1”“n<m或n>m”，分别表述为“至多有m-1个”“至少有m+1个”“有小于m个或多于m个”。这里量词往往都出现在命题的谓词中，“有”是该命题的存在谓词，肯定的是主词的数量。要得到这类命题的负命题，仅需否定量词。
例7 “过空间一点至多有一条直线与已知直线平行”。
“至多有一条直线”，就是说“有一条或没有满足条件的直线”，即有0条或1条。那么否定这个命题，就是要说“有2、3、4……条满足条件的直线”，即“至少有两条满足条件的直线”，故此题答案为“过空间一点至少有两条直线与已知直线平行”。
例8 “过空间一点至少有一条直线与两异面直线成角相等”。
“至少有一条直线”，就是说“有1、2、3……条直线满足条件”。那么否定这个命题，就是要说“有0条直线满足条件”，即“没有满足条件的直线”，故此题答案为“过空间一点不存在与两条异面直线所成角相等的直线”。
逻辑的形式与规律是在实践中获得的。人类的实践反复证明了辩证逻辑和形式逻辑的真理性。由此可知，逻辑的形式与规律具有固定不变性，具有永恒性。
形式逻辑提供了正确思维的规律和形式。为要严谨地、循序渐进地思考，就必须正确地使用思维的形式，并遵守正确的思维规律。
培养和发展学生的逻辑思维是非常必要的。知识是正确认识的成果，而正确的思维又是达到正确认识所必不可少的手段。只有培养学生的逻辑思维能力，才能保持和巩固他们既有的认识，并在发展前途上不断地修正错误、辨明真理、提高认识，使他们获得越来越丰富的科学知识。
通过数学教学培养逻辑思维能力，是要在教学过程中随时体现出教材内在的逻辑性。逻辑学能够帮助我们更迅速、更深刻地去理解教材，去解答问题，去论证自己的论断，以及去严谨而前后一贯地叙述自己的思想。逻辑学会帮助我们找出和分出所研究的材料中主要的和基本的部分，从而更好地去通晓它们的内容。